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Series de fourier (video)
viernes, 19 de julio de 2013
Series de fourier
Serie de Fourier
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.
Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.
Las series de fourier son de la forma:
![\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos\frac{2n\pi}{T}t + b_n\sin\frac{2n\pi}{T}t\right]](http://upload.wikimedia.org/math/5/5/8/558025a943d5a46c353605d33c6b6d2c.png)
Propiedades de la serie de fourier
Aplicaciones de la series de fourier
Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoides generados por osciladores eléctrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas
Análisis en el comportamiento armónico de una señal.
Reforzamiento de señales.
Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o Solución en regimen permanente senoidal en el dominio de la frecuencia
La resolución de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmente computables, y que obtener soluciones prácticas, en la teoría de latransmisión del calor, la teoría de placas, etc.
Transformada inversa de Laplace
Transformada Inversa de Laplace
donde {L} es la transformada de Laplace.
Transformada Inversa de Laplace:
Las características fundamentales de la transformada de Laplace son:
Propiedades de La Transformada Inversa de Laplace
Linealidad
La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican
La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples de la álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica La transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales.
En matemática, la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la función f(t) que cumple con la propiedad
donde {L} es la transformada de Laplace.
La transformada de Laplace junto con la transformada inversa de Laplace tienen un número de propiedades que las hacen útiles para el análisis de sistemas dinámicos lineales.
Transformada Inversa de Laplace:
Las características fundamentales de la transformada de Laplace son:
Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.
Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.
Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.
Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente.
En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que poseen transformada de Laplace.
Linealidad
La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican
Para la inversa:
Primer Teorema de Traslación
Donde 
Para la inversa:
La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s.
Teorema de la transformada de la derivada
La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.
Teorema de la transformada de la integral
Teorema de la integral de la transformada
siempre y cuando
Teorema de la derivada de la transformada
Teorema de la Convolución
Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces
Segundo teorema de la convolucion
Definicion de Laplace
Definicion
donde S: es un parámetro que puede ser un número real o un número complejo
Así, f(t) se reemplaza por F(s). La ventaja de esta operación radica en que bajo ciertas circunstancias se pueden reemplazar funciones complicadas por otras más simples.
Funciones de la Transformada de Laplace
La función paso unitario desplazada
Propiedades:
- 1. Linealidad.
Si f y g tienen transformada de Laplace L(f) y L(g) para s> p respectivamente, entonces,
L (af + bg) = a L(f) + b L(g) para s > p y a y b reales.
La demostración se basa en la linealidad de integrales impropias convergentes.
- 2. Teorema del desplazamiento en s.
Función Gamma
En el estudio de las integrales impropias se presta especial atención a cierta integral paramétrica, por su relación con otras ramas del análisis matemático, así como por su uso en la resolución de diversos problemas físicos de gran importancia.
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